10 задание. Cистемы счисления

Десятое — одно из заданий, в которых делается большое количество ошибок. Оно, в частности, связано с переводом в десятичную систему счисления (то есть с основанием 10) из системы с другим основанием. Например, это может быть перевод из двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления.

Все перечисленные системы являются позиционными, то есть значение цифры зависит от занимаемой ею позиции в числе (разряда). Разряды в зависимости от основания системы счисления выглядят следующим образом:

Основание системы счисления
10	103	102	101	100
2	23	22	21	20
8	83	82	81	80
16	163	162	161	160

Если разрядов больше, то слева добавится четвёртая, пятая, шестая степень и т.д.

Число записывается цифрами, входящими в алфавит системы счисления. Количество этих цифр равно основанию системы счисления. То есть, в алфавит системы счисления

с основанием 10 (десятичной) входит 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9;

с основанием 2 (двоичной) входит 2 цифры: 0 и 1;

с основанием 8 (восьмеричной) входит 8 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7;

с основанием 16 (шестнадцатеричной) входит 16 цифр и букв латинского алфавита: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F (A обозначает 10, B – 11, C – 12, D – 13, E – 14, F – 15.

Чтобы перевести число в десятичную систему счисления можно использовать его развёрнутую форму записи.

Пример 1. Для перевода числа 1101₂ (это свёрнутая форма записи, основание записывается нижним индексом) из двоичной в десятичную систему, запишем его по разрядам:

23	22	21	20
1	1	0	1

А теперь сложим десятичные числа, получающиеся по каждому разряду:

1 * 2³ + 1 * 2² + 0 * 2¹ + 1 * 2⁰ (это развёрнутая форма записи числа)

Остаётся вспомнить, что любое положительное число в нулевой степени равно 1 и сосчитать результат:

1 * 8 + 1 * 4 + 0 * 2 + 1 * 1 = 13

1101₂ = 13₁₀

Пример 2. Переведём число 217F₁₆ из шестнадцатеричной в десятичную систему счисления. Сначала запишем по разрядам:

163	162	161	160
2	1	7	F

Развёрнутая форма записи числа:

2 * 16³ + 1 * 16² + 7 * 16¹ + 15 * 16⁰ То, что F = 15, мы определяем, зная алфавит шестнадцатеричной системы.

Считаем результат:

2 * 4096 + 1 * 256 + 7 * 16 + 15 * 1 = 8 575

217F₁₆ = 8 575₁₀

Так как в задании после перевода нужно выбрать максимальное или минимальное число, остаётся напомнить, что максимальное – это наибольшее, а минимальное – это наименьшее 🙂 .

А теперь пройди викторину, чтобы проверить себя!